Tại sao không thể dùng hồi quy tuyến tính (LM)?
Hồi quy tuyến tính cổ điển (Ordinary Least Squares — OLS) dựa trên các giả định sau:
- Outcome liên tục: Y có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào.
- Phân phối chuẩn: Phần dư (residuals) tuân theo phân phối chuẩn.
- Phương sai đồng nhất (homoscedasticity): Var(ε) không đổi trên mọi giá trị dự đoán.
- Quan hệ tuyến tính: E[Y|X] = β₀ + β₁X₁ + ... + βₖXₖ.
Khi outcome là nhị phân (Y = 0 hoặc 1), các giả định trên bị vi phạm nghiêm trọng:
- Phần dư không thể chuẩn — chúng chỉ nhận 2 giá trị.
- Phương sai không đồng nhất — Var(Y|X) = p(1−p) thay đổi theo p.
- Giá trị dự đoán có thể < 0 hoặc > 1 — không thể giải thích là xác suất.
GLM — Giải pháp tổng quát
GLM (Generalized Linear Model) — do Nelder & Wedderburn (1972) đề xuất — mở rộng hồi quy tuyến tính với 3 thành phần:
| Thành phần | Ý nghĩa | Ví dụ (Logistic) |
|---|---|---|
| Random component | Phân phối của outcome Y (từ họ exponential family) | Binomial (Y = 0/1) |
| Systematic component | Tổ hợp tuyến tính các predictors: η = β₀ + β₁X₁ + ... | η = β₀ + β₁Tuổi + β₂HútThuốc + ... |
| Link function g(·) | Hàm kết nối kỳ vọng E[Y|X] với systematic component | Logit: g(μ) = ln[μ/(1−μ)] |
g( E[Y|X] ) = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₖXₖ
So sánh các loại GLM
| Loại GLM | Outcome | Link function | Công thức | Ví dụ lâm sàng |
|---|---|---|---|---|
| Logistic | Nhị phân (0/1) | Logit | ln[p/(1−p)] = βX | Nguy cơ tử vong, biến cố tim mạch |
| Poisson | Đếm (0,1,2,...) | Log | ln(μ) = βX | Số lần nhập viện, số cơn đau thắt |
| Gamma | Lệch dương (>0) | Inverse | 1/μ = βX | Chi phí điều trị, thời gian nằm viện |
| Linear (đặc biệt) | Liên tục (−∞,∞) | Identity | μ = βX | HA, BMI, đường huyết |
🔍 Link function — tại sao cần "logit"?
Xác suất p nằm trong khoảng [0, 1] trong khi βX có thể nhận giá trị (−∞, +∞). Link function logit biến đổi p (0→1) thành log-odds (−∞→+∞), giải quyết hoàn toàn vấn đề biên. Cụ thể: logit(p) = ln[p/(1−p)]. Khi p → 0, logit → −∞. Khi p → 1, logit → +∞. Nghịch đảo: p = eβX / (1 + eβX) — đảm bảo p luôn trong [0, 1].
⚠️ Sai lầm thường gặp
"Dùng hồi quy tuyến tính cho biến nhị phân cũng được, chỉ cần đảo dấu các giá trị < 0 và > 1." Sai! Hồi quy tuyến tính cho outcome nhị phân (Linear Probability Model — LPM) có phương sai không đồng nhất, phần dư không chuẩn, và giá trị dự đoán ngoài [0, 1]. Dù có thể dùng để ước lượng gần đúng, LPM không phù hợp cho suy diễn thống kê chính xác. Luôn dùng logistic regression cho outcome nhị phân.
