9.3 Phương pháp Actuarial (Bảng sống – Life Table)

Trong một số nghiên cứu thuần tập, thời gian tử vong và thời gian kiểm duyệt chính xác không có sẵn. Điều này thường xảy ra với các hệ thống giám sát lớn như cơ quan đăng ký ung thư, nơi các lần thăm khám bệnh nhân được lên lịch định kỳ. Đối với những cá nhân tử vong hoặc bị kiểm duyệt giữa các lần hẹn, tất cả những gì có thể biết là họ đã sống sót đến lần theo dõi cuối cùng. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng thời gian sống bị kiểm duyệt theo khoảng (interval-censored) và dữ liệu được phân nhóm (grouped). Phương pháp Actuarial là một cách tiếp cận cổ điển để phân tích dữ liệu sống còn bị kiểm duyệt theo khoảng, có nguồn gốc từ phân tích bảng sống (life table analysis).

Sự khác biệt so với Kaplan-Meier

Phương pháp Actuarial khác với phương pháp Kaplan-Meier ở chỗ các khoảng được xác định bởi nhà nghiên cứu thay vì dựa trên các thời điểm tử vong quan sát được. Gọi τ₀ = 0, τ_J+1 là thời gian quan sát tối đa, và τ₁ < τ₂ < … < τ_J là J điểm thời gian trung gian. Cách tiếp cận Actuarial bắt đầu bằng cách phân chia thời gian theo dõi thành J+1 khoảng: [τ₀, τ₁), [τ₁, τ₂), …, [τ_j, τ_j+1), …, [τ_J-1, τ_J), [τ_J, τ_J+1].

Gọi a_j và c_j lần lượt là số ca tử vong và số quan sát bị kiểm duyệt trong khoảng thứ j (j = 0, 1, …, J). Với dữ liệu bị kiểm duyệt theo khoảng, chúng ta không biết thời gian tử vong hoặc kiểm duyệt chính xác, nhưng điều này không ảnh hưởng đến các số đếm a_j và c_j. Mặc dù định nghĩa của a_j và c_j về mặt hình thức giống như trong bối cảnh Kaplan-Meier, một điểm khác biệt ở đây là các ca tử vong trong khoảng thứ j được phép xảy ra trong suốt khoảng thay vì chỉ tại τ_j. Một điểm khác biệt nữa là a₀ không nhất thiết bằng 0.

Tập hợp nguy cơ thứ j được định nghĩa là nhóm đối tượng sống sót đến ít nhất τ_j (j = 0, 1, …, J). Gọi r_j là số đối tượng trong tập hợp nguy cơ thứ j, và r_J+1 là số đối tượng sống sót đến τ_J+1. Như trước đây, ta định nghĩa c'_j = c_j với j < J và c'_J = c_J − r_J+1.

Các Giả định

Để ước lượng đường cong sống còn, cần đưa ra một số giả định nhất định về dạng hàm của nó và phân bố của thời gian kiểm duyệt. Cụ thể, chúng ta giả định rằng S(t) là một hàm liên tục và tuyến tính trên mỗi khoảng. Nói cách khác, đồ thị của S(t) là một chuỗi các đoạn thẳng gặp nhau tại các giá trị tương ứng với các điểm cuối của các khoảng. Chúng ta cũng giả định rằng việc kiểm duyệt vì lý do khác ngoài sống sót đến τ_J+1 xảy ra đồng đều trong mỗi khoảng. Do đó, tất cả các kiểm duyệt, ngoại trừ kiểm duyệt do sống sót đến τ_J+1, trung bình xảy ra tại điểm giữa của mỗi khoảng.

Gọi p_j là xác suất có điều kiện sống sót đến τ_j+1, với điều kiện đã sống sót đến τ_j, và q_j = 1 − p_j là xác suất có điều kiện tương ứng của tử vong (j = 0, 1, …, J).

Công thức Ước lượng Actuarial

Cách tiếp cận Actuarial để ước lượng hàm sống còn tiến hành theo các bước tương tự như phương pháp Kaplan-Meier. Mẫu số của q̂_j là r_j, và tử số được định nghĩa là tổng số ca tử vong trong khoảng thứ j. Đại lượng sau là tổng của a_j ca tử vong quan sát được cộng với số ca tử vong không quan sát được trong số c'_j đối tượng bị kiểm duyệt. Với các giả định trên về đường cong sống còn và mô hình kiểm duyệt, số ca tử vong không quan sát được ước lượng là (q̂_j/2)c'_j. Do đó, ước lượng của q_j là q̂_j = [a_j + (q̂_j/2)c'_j]/r_j, giải ra cho q̂_j ta được:

q̂_j = a_j / [r_j − (c'_j/2)]   (9.12)

(j = 0, 1, …, J). Mẫu số r_j − (c'_j/2) được ký hiệu là r'_j và được gọi là cỡ mẫu "hiệu dụng" (effective sample size). Thuật ngữ này phù hợp vì r'_j có thể được coi là số đối tượng cần có nguy cơ trong điều kiện không có kiểm duyệt để đưa ra ước lượng (9.12). Lưu ý rằng r'_j có thể không phải là số nguyên.

Với p̂_j = 1 − q̂_j, ta có các ước lượng:

Ŝ_j = p̂₀ p̂₁ … p̂_j−1   (9.13)

v̂ar(Ŝ_j) = (Ŝ_j)² Σ_i=0^j−1 [q̂_i / (p̂_i r'_i)]

v̂ar[log(−log Ŝ_j)] = [1/(log Ŝ_j)²] Σ_i=0^j−1 [q̂_i / (p̂_i r'_i)]

(j = 1, 2, …, J+1). Đồ thị của đường cong sống còn Actuarial thu được bằng cách vẽ các điểm Ŝ_j và sau đó nối các điểm này bằng các đoạn thẳng.

Ví dụ 9.7 (Mức Thụ thể–Ung thư Vú)

Bảng 9.13 đưa ra phân tích Actuarial của dữ liệu ung thư vú sau khi phân tầng theo mức thụ thể. Thời gian theo dõi được chia thành các khối 12 tháng và khoảng tin cậy 95% được ước lượng bằng phương pháp Kalbfleisch-Prentice. Các ước lượng Actuarial cho xác suất sống còn tại các thời điểm 0, 12, 24, 36, 48 và 60 tháng lần lượt là 1,0; 0,975; 0,888; 0,831; 0,780 và 0,724. Hình 9.7 cho thấy đồ thị của đường cong sống còn Actuarial và khoảng tin cậy 95%. Không có gì ngạc nhiên khi Hình 9.7 và Hình 9.2 tương tự nhau, cho thấy tính nhất quán giữa hai phương pháp.

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. tr.189-191.)