8.2 Hàm Sống còn S(t) và Hàm Nguy cơ h(t) (Survival Functions and Hazard Functions)

Khái niệm về biến ngẫu nhiên thời gian sống còn: Trong lý thuyết thống kê của phân tích sống còn, thời gian sống còn được coi là một biến ngẫu nhiên liên tục, ký hiệu là T. Theo đó, thời gian sống còn t được thảo luận trong phần trước là một giá trị quan sát cụ thể (realization) của T. Cũng như mọi biến ngẫu nhiên liên tục, T có một hàm mật độ xác suất (probability density function) liên quan, ký hiệu là f(t). Tuy nhiên, trong phân tích sống còn, người ta thường thuận tiện hơn khi mô tả T thông qua hai hàm khác: hàm sống còn (survival function) S(t) và hàm nguy cơ (hazard function) h(t).

Hàm sống còn S(t): Hàm sống còn được định nghĩa là S(t) = P(T ≥ t); nghĩa là, S(t) bằng xác suất sống sót (ít nhất) đến thời điểm t. Giả sử không gian mẫu của T là [0, τ], trong đó τ là thời gian sống còn tối đa có thể có theo thiết kế nghiên cứu. Ví dụ, τ = 5 trong một nghiên cứu thuần tập bệnh nhân ung thư được theo dõi tối đa 5 năm. Theo định nghĩa, S(0) = 1, nghĩa là toàn bộ thuần tập còn sống tại t = 0. S(t) là một hàm không tăng (nonincreasing) theo t: t1 < t2 kéo theo S(t1) ≥ S(t2). Đồ thị của S(t) cung cấp một phương pháp trực quan để mô tả trải nghiệm sống còn của thuần tập theo thời gian.

Xác suất có điều kiện và hàm nguy cơ h(t): Gọi t là một thời điểm cố định tùy ý và ε là một số dương nhỏ. Khoảng [t, t+ε) là tập hợp các thời gian sống còn lớn hơn hoặc bằng t và nhỏ hơn t+ε. Xác suất chết trong [t, t+ε) là S(t) - S(t+ε), một đại lượng tiến về 0 khi ε tiến về 0. Tỷ số [S(t) - S(t+ε)] / ε là xác suất trên một đơn vị thời gian của việc chết trong [t, t+ε). Khi ε tiến về 0, tỷ số này có giá trị giới hạn bằng f(t). Điều này cho thấy f(t) có đơn vị là trên một đơn vị thời gian (ví dụ: năm^-1).

Xét xác suất có điều kiện của việc chết trong [t, t+ε), với điều kiện sống sót đến t: Q_ε(t) = [S(t) - S(t+ε)] / S(t). Xác suất có điều kiện trên một đơn vị thời gian là Q_ε(t) / ε = [S(t) - S(t+ε)] / [S(t) · ε]. Khi ε tiến về 0, biểu thức này có giá trị giới hạn mà chúng ta ký hiệu là h(t). Đối với một thời điểm t cụ thể, h(t) được gọi là nguy cơ tại thời điểm t (hazard at time t). Khi xét trong tổng thể, h(t) được gọi là hàm nguy cơ (hazard function). Trong lý thuyết bảng sống (life table theory), hàm nguy cơ đôi khi được gọi là lực tử vong (force of mortality), và trong tài liệu dịch tễ học, nó thường được gọi là mật độ mắc bệnh (incidence density). Giống như f(t), h(t) cũng có đơn vị trên một đơn vị thời gian. Từ định nghĩa của h(t), tích h(t)ε xấp xỉ bằng Q_ε(t), với độ chính xác tăng khi ε nhỏ hơn.

Giải thích trực quan: Vì T là một biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất chết tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào là 0. Chỉ khi xét xác suất chết trong một khoảng thời gian mới thu được xác suất khác 0. Vì lý do này, đôi khi f(t) và h(t) được gọi là các xác suất tức thời (instantaneous probabilities). Ba hàm được mô tả như sau: S(t) là xác suất một cá thể sống tại thời điểm 0 sẽ sống sót đến thời điểm t; f(t) là xác suất tức thời trên một đơn vị thời gian mà một cá thể sống tại thời điểm 0 sẽ chết tại thời điểm t; và h(t) là xác suất tức thời trên một đơn vị thời gian mà một cá thể còn sống tại thời điểm t sẽ chết trong khoảnh khắc tiếp theo. Ba hàm này tương đương về mặt toán học. Một đồng nhất thức hữu ích: h(t) = f(t) / S(t).

Khả năng xảy ra (Likelihood) cho dữ liệu sống còn: Xét một nghiên cứu thuần tập mở gồm r đối tượng với các quan sát (t₁, δ₁), ..., (t_r, δ_r). Nếu đối tượng i sống sót đến t_i, số hạng tương ứng trong likelihood là S(t_i), trong khi nếu đối tượng i chết tại t_i thì số hạng là f(t_i). Sử dụng δ_i, đóng góp của đối tượng i vào likelihood là S(t_i)^1-δ_i · f(t_i)^δ_i = S(t_i) · h(t_i)^δ_i. Likelihood tổng thể: L = ∏ S(t_i) · h(t_i)^δ_i.

Ví dụ 8.1 (Phụ nữ Canada 1990–1992): Ví dụ này xem xét bảng sống thông thường (ordinary life table) cho phụ nữ Canada giai đoạn 1990–1992. Đây là một thuần tập giả định dựa trên dữ liệu cắt ngang, trong đó một nhóm trẻ sơ sinh được theo dõi cho đến khi đối tượng cuối cùng chết. Các Hình 8.2(a)–8.2(c) là các đường cong trơn được tạo ra bằng cách nội suy các hàm bảng sống thông thường. Dữ liệu bao gồm số liệu điều tra dân số giữa năm 1991, số ca sinh trong 1990–1992 và số ca tử vong từ mọi nguyên nhân trong 1990–1992.

Hình 8.2(a) và 8.2(b) được cắt tại tuổi 100; Hình 8.2(c) tại tuổi 70. Trong Hình 8.2(a), hàm sống còn giảm mạnh trong năm đầu đời do tử vong chu sinh, sau đó giảm rất chậm đến cuối tuổi trung niên, rồi giảm mạnh khi tuổi gà đến gần. Hình 8.2(b): hàm mật độ xác suất có độ dốc lớn năm đầu, tăng nhẹ cuối trung niên, đỉnh cao ở tuổi gà. Diện tích dưới đường cong giữa hai độ tuổi bằng xác suất (không điều kiện) chết trong khoảng đó. Đường cong giảm nhanh gần 100 vì ít người sống đủ lâu. Hình 8.2(c): hàm nguy cơ tăng nhanh ở tuổi gà cực đoan, cho thấy nguy cơ chết trong khoảnh khắc tiếp theo ngày càng lớn đối với người sống rất thọ.

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 8, tr.163-166.)