1.4. Ước lượng tham số (Ước lượng điểm và Khoảng tin cậy)
Giả sử chúng ta quan tâm đến một tham số θ nào đó của một phân phối xác suất. Chẳng hạn, θ có thể là xác suất thành công trong phân phối Nhị thức hoặc kỳ vọng của phân phối Chuẩn. Một ước lượng (estimator) của θ, ký hiệu là θ̂, là một biến ngẫu nhiên mà giá trị của nó phụ thuộc vào dữ liệu mẫu. Sau khi nghiên cứu được tiến hành, dữ liệu được thu thập và giá trị quan sát được của θ̂ được tính toán; giá trị này được gọi là ước lượng điểm (point estimate) của θ.
Phương pháp Hợp lý Tối đa (Maximum Likelihood — ML). Giả sử X₁, X₂, ..., Xn là một mẫu ngẫu nhiên từ một phân phối xác suất có hàm mật độ (hoặc hàm khối) f(x; θ), trong đó θ là một tham số chưa biết. Hàm hợp lý (likelihood function) được định nghĩa là:
L(θ) = ∏ f(xᵢ; θ)
với tích được lấy từ i = 1 đến n. Theo trực giác, hàm hợp lý đo lường mức độ "hợp lý" của dữ liệu đối với các giá trị khác nhau của θ. Ước lượng hợp lý tối đa (MLE) của θ, ký hiệu là θ̂, là giá trị của θ làm tối đa hóa L(θ). Trong thực hành, người ta thường làm việc với log-hàm hợp lý ℓ(θ) = ln L(θ).
Khoảng tin cậy (Confidence Interval). Ước lượng điểm cung cấp một giá trị số duy nhất cho θ, nhưng nó không cho biết mức độ chính xác của ước lượng đó. Khoảng tin cậy giải quyết vấn đề này. Khoảng tin cậy 100(1−α)% cho θ là một khoảng [L, U] sao cho xác suất khoảng này chứa θ là (1−α). Khoảng tin cậy 95% (α = 0,05) là phổ biến nhất.
Sai số chuẩn (standard error — SE) của θ̂ là độ lệch chuẩn của θ̂, tức là SE(θ̂) = √var(θ̂). Công thức tổng quát cho khoảng tin cậy dựa trên xấp xỉ Chuẩn là:
θ̂ ± zα/2 × SE(θ̂)
(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 1, tr.21-26.)
