1.1.2 Một số phân phối xác suất quan trọng

Phân phối Chuẩn (Normal/Gaussian)

Vì những lý do sẽ trở nên rõ ràng sau khi chúng ta thảo luận về Định lý Giới hạn Trung tâm, phân phối quan trọng nhất chắc chắn là phân phối Chuẩn. Hàm mật độ xác suất của phân phối Chuẩn được cho bởi:

f(z|μ,σ) = 1/(σ√(2π)) × exp(−(z−μ)²/(2σ²))

trong đó biến ngẫu nhiên Z nhận giá trị trên toàn bộ tập số thực và exp là hàm mũ cơ số e. Phân phối Chuẩn được đặc trưng hoàn toàn bởi hai tham số μ và σ. Có thể chứng minh rằng kỳ vọng và phương sai của Z lần lượt là μ và σ².

Khi μ = 0 và σ = 1, ta nói Z có phân phối Chuẩn tắc (standard normal distribution). Với 0 < γ < 1, ký hiệu z_γ là điểm phân vị trên với xác suất γ của phân phối Chuẩn tắc; nghĩa là P(Z ≥ z_γ) = γ. Ví dụ, z_0,025 = 1,96.

Một tính chất quan trọng của phân phối Chuẩn là tính cộng (additivity): tổng của các biến ngẫu nhiên Chuẩn độc lập cũng có phân phối Chuẩn.

Phân phối Chi-bình phương (Chi-Square)

Phân phối Chi-bình phương được đặc trưng hoàn toàn bởi một số nguyên dương r, được gọi là bậc tự do (degrees of freedom). Ký hiệu χ²_r. Kỳ vọng và phương sai của phân phối Chi-bình phương với r bậc tự do lần lượt là r và 2r.

Tầm quan trọng của phân phối Chi-bình phương bắt nguồn từ mối liên hệ của nó với phân phối Chuẩn. Cụ thể, nếu Z có phân phối Chuẩn tắc, thì Z² có phân phối χ²₁. Giống như phân phối Chuẩn, phân phối Chi-bình phương cũng có tính chất cộng.

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 1, tr.7-10.)