1.1.1 Hàm xác suất và Biến ngẫu nhiên

Lý thuyết xác suất nghiên cứu các mô hình toán học mô tả các hiện tượng có yếu tố không chắc chắn. Các bài toán có thể giải quyết bằng phương pháp xác suất dao động từ những vấn đề sơ đẳng, chẳng hạn như khả năng rút ngẫu nhiên được một lá át từ một bộ bài đã được tráo đều, cho đến những vấn đề vô cùng phức tạp, như dự báo thời tiết. Các nghiên cứu dịch tễ học thường liên quan đến việc thu thập, phân tích và diễn giải dữ liệu liên quan đến sức khỏe, trong đó tính không chắc chắn đóng vai trò quan trọng. Ví dụ, hãy xem xét một cuộc điều tra trong đó đường huyết được đo trên một mẫu ngẫu nhiên của dân số. Mục tiêu của cuộc điều tra có thể là ước lượng đường huyết trung bình trong dân số và ước lượng tỷ lệ dân số mắc bệnh đái tháo đường (đường huyết cao). Tính không chắc chắn nảy sinh vì không có gì đảm bảo rằng các ước lượng thu được sẽ bằng đúng các giá trị thực của dân số (trừ khi toàn bộ dân số tham gia vào cuộc điều tra).

Mỗi mô hình xác suất đều gắn liền với một biến ngẫu nhiên (random variable), được ký hiệu bằng một chữ cái in hoa như X. Chúng ta có thể hình dung X như đại diện cho một điểm dữ liệu tiềm năng của một nghiên cứu được đề xuất. Khi nghiên cứu đã được tiến hành, chúng ta có các giá trị quan sát thực tế, được gọi là các giá trị quan sát (realizations hay outcomes) của X. Một giá trị quan sát bất kỳ của X sẽ được ký hiệu bằng một chữ cái thường như x. Trong cuốn sách này, chúng ta giả định rằng các giá trị quan sát đều ở dạng số — ví dụ, trong cuộc điều tra nói trên, tình trạng đái tháo đường sẽ phải được mã hóa thành số, chẳng hạn 1 cho "có bệnh" và 0 cho "không bệnh". Tập hợp tất cả các giá trị có thể có của X được gọi là không gian mẫu (sample space) của X. Đối với đường huyết, không gian mẫu là tập hợp tất cả các số không âm; đối với tình trạng đái tháo đường (với cách mã hóa nêu trên), không gian mẫu là {0, 1}.

Có nhiều cách tương đương về mặt toán học để đặc trưng hóa một mô hình xác suất. Trong trường hợp rời rạc, trọng tâm thường tập trung chủ yếu vào hàm khối xác suất (probability mass function), được ký hiệu là P(X = x); trong khi ở trường hợp liên tục, trọng tâm thường là hàm mật độ xác suất (probability density function), được ký hiệu là f(x). Ký hiệu P(X = x) có thể gây nhầm lẫn vì cả X và x đều là các ký hiệu biến. Chúng ta đọc P(X = x) là "xác suất để biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x".

Các định nghĩa và kết quả chính

Một trong những tính chất đặc trưng của hàm xác suất là điều kiện chuẩn hóa:

Σ P(X = x) = 1   (1.1)

trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị có thể có của x trong không gian mẫu của X.

Kỳ vọng (mean) của X, đôi khi được gọi là giá trị kỳ vọng (expected value) của X, được định nghĩa là:

E(X) = Σ x·P(X = x)   (1.2)

Phương sai (variance) của X được định nghĩa là:

var(X) = Σ [x − E(X)]²·P(X = x)   (1.3)

Điều quan trọng cần lưu ý là khi kỳ vọng và phương sai tồn tại, chúng là các hằng số, không phải là các biến ngẫu nhiên. Trong hầu hết các ứng dụng, kỳ vọng và phương sai là chưa biết và cần được ước lượng từ dữ liệu nghiên cứu.

Ví dụ 1.1

Xét hàm xác suất được cho trong Bảng 1.1. Không gian mẫu của X là {0, 1, 2}. Kỳ vọng và phương sai của X là:

E(X) = (0 × 0,20) + (1 × 0,50) + (2 × 0,30) = 1,1

var(X) = [(0 − 1,1)² × 0,20] + [(1 − 1,1)² × 0,50] + [(2 − 1,1)² × 0,30] = 0,49

Biến đổi tuyến tính

Cho X là một biến ngẫu nhiên, α và β là các hằng số. Xét biến ngẫu nhiên αX + β. Có thể chứng minh rằng:

E(αX + β) = α·E(X) + β   (1.4)

var(αX + β) = α²·var(X)   (1.5)

Ví dụ 1.2

Với X như trong Ví dụ 1.1, xét biến ngẫu nhiên Y = 2X + 5. Không gian mẫu của Y là {5, 7, 9}. E(Y) = 7,2 và var(Y) = 1,96.

Hàm xác suất đồng thời (Joint Probability Function)

Trong nhiều ứng dụng, cần xét nhiều biến ngẫu nhiên có liên quan với nhau. Hàm xác suất mô tả mối quan hệ giữa hai hay nhiều biến ngẫu nhiên đồng thời được gọi là hàm xác suất đồng thời (joint probability function). Với hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y, hàm xác suất đồng thời được ký hiệu là P(X = x, Y = y).

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 1, tr.1-7.)