3.2 Phương pháp Tiệm cận (Asymptotic Methods) — Xấp xỉ Chuẩn

Đối với các mẫu lớn, Định lý Giới hạn Trung tâm (Central Limit Theorem) cho phép chúng ta xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu p̂ bằng phân phối chuẩn:

p̂ ~ N(p, p(1−p)/n)   (3.5)

nghĩa là p̂ có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng là p và phương sai là p(1−p)/n.

Khoảng tin cậy Wald (Wald Confidence Interval): Đây là khoảng tin cậy tiệm cận đơn giản nhất:

p̂ ± z_α/2 · √[p̂(1−p̂)/n]   (3.6)

trong đó z_α/2 là giá trị tới hạn ở đuôi trên với xác suất α/2 của phân phối chuẩn tắc (ví dụ, z_0,025 = 1,96 cho khoảng tin cậy 95%). Lưu ý quan trọng: khoảng tin cậy Wald hoạt động kém hiệu quả khi p gần 0 hoặc 1, hoặc khi n nhỏ. Trong những trường hợp này, khoảng tin cậy có thể vượt ra ngoài [0, 1] hoặc có độ phủ thực tế thấp hơn nhiều so với mức độ danh nghĩa.

Khoảng tin cậy Wilson (Wilson Confidence Interval — Score CI): Đây là một cải tiến so với khoảng tin cậy Wald, dựa trên kiểm định score (Wilson, 1927). Khoảng tin cậy Wilson không bao giờ vượt ra ngoài [0, 1] và có hiệu suất tốt hơn khoảng Wald trong hầu hết các tình huống:

[p̂ + z²/(2n) ± z · √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))] / [1 + z²/n]   (3.7)

với z = z_α/2.

Kiểm định giả thuyết tiệm cận: Để kiểm định H₀: p = p₀, thống kê kiểm định là:

z = (p̂ − p₀) / √[p₀(1−p₀)/n]   (3.8)

Dưới giả thuyết H₀, z có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc N(0, 1). Kiểm định hai phía bác bỏ H₀ nếu |z| > z_α/2. Kiểm định này tương đương với kiểm định chi bình phương (χ²) với một bậc tự do vì z² ~ χ²(1).

Khuyến nghị: Các phương pháp chính xác nên ưu tiên khi n nhỏ hoặc p gần 0/1. Phương pháp tiệm cận (đặc biệt là khoảng tin cậy Wilson) phù hợp hơn cho các mẫu lớn. Khoảng tin cậy Wald nên tránh trừ khi cỡ mẫu cực lớn.

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 3, tr.82-88.)