3.1 Phương pháp Chính xác (Exact Methods) — Phân phối Nhị thức

Xét một quần thể đóng gồm n cá thể độc lập, mỗi cá thể có cùng xác suất mắc bệnh p (0 ≤ p ≤ 1). Gọi X là số ca mắc bệnh quan sát được. Khi đó X có phân phối Nhị thức (Binomial distribution) với tham số n và p, ký hiệu X ~ Binomial(n, p). Hàm khối xác suất (probability mass function) là:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^n−k   (3.1)

với k = 0, 1, 2, ..., n, và C(n, k) = n! / [k! (n − k)!] là tổ hợp chập k của n (hệ số nhị thức).

Kỳ vọng và phương sai của X lần lượt là E(X) = np và var(X) = np(1 − p).

Ước lượng điểm: Ước lượng hợp lý tối đa (MLE) của p là tỷ lệ mắc bệnh trong mẫu:

p̂ = x / n   (3.2)

Đây là ước lượng không chệch (unbiased) và vững (consistent) của p.

Khoảng tin cậy chính xác (Exact Confidence Interval — Clopper-Pearson): Khoảng tin cậy 100(1−α)% cho p dựa trực tiếp trên phân phối Nhị thức. Giới hạn dưới p_L và giới hạn trên p_U được xác định sao cho:

P(X ≥ x | p = p_L) = α/2 và P(X ≤ x | p = p_U) = α/2

Các giới hạn này có thể được biểu diễn thông qua phân phối F:

p_L = x / [x + (n − x + 1) · F_{2(n−x+1), 2x, α/2}]   (3.3)

p_U = (x + 1) · F_{2(x+1), 2(n−x), α/2} / [n − x + (x + 1) · F_{2(x+1), 2(n−x), α/2}]   (3.4)

Kiểm định giả thuyết chính xác: Để kiểm định H₀: p = p₀ so với H₁: p ≠ p₀ (kiểm định hai phía), giá trị p (p-value) được tính bằng tổng xác suất của tất cả các giá trị k có P(X = k | p₀) ≤ P(X = x | p₀):

p = Σ_{{k: P(X=k|p₀) ≤ P(X=x|p₀)}} P(X = k | p₀)

Phương pháp chính xác được khuyến nghị khi cỡ mẫu n nhỏ hoặc khi p ở gần 0 hoặc 1, vì các phương pháp tiệm cận có thể không chính xác trong những tình huống này.

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Wiley, 2001. Chương 3, tr.77-81.)