📐 Từ hệ số tương quan đến phương trình hồi quy
3.1. Hệ số tương quan Pearson (r)
Hệ số tương quan Pearson, ký hiệu là r, là thước đo mức độ và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số định lượng. r dao động từ -1 đến +1:
- r > 0: tương quan thuận — X tăng thì Y tăng (tuổi tăng, huyết áp tăng).
- r < 0: tương quan nghịch — X tăng thì Y giảm (tập thể dục nhiều, huyết áp giảm).
- r = 0: không có tương quan tuyến tính (có thể có tương quan phi tuyến — ví dụ: hình chữ U).
Công thức hệ số tương quan Pearson:
r = Cov(X, Y) / (σx · σy)
Trong đó:
Cov(X, Y) = Σ[(Xi − X̄)(Yi − Ȳ)] / (n − 1)
σx = độ lệch chuẩn của X
σy = độ lệch chuẩn của Y
Trực giác:
Covariance đo lường mức độ X và Y "dao động cùng nhau".
Chia cho tích hai độ lệch chuẩn để chuẩn hóa về thang -1 đến +1.
Tại sao cần chuẩn hóa Covariance bằng σx·σy? Hãy tưởng tượng bạn đo X bằng cm và Y bằng kg. Covariance sẽ phụ thuộc vào đơn vị đo — nếu đổi X từ cm sang mét, covariance giảm 100 lần! Chuẩn hóa bằng σx·σy loại bỏ ảnh hưởng của đơn vị, cho một con số "thuần túy" — r — không phụ thuộc vào thang đo. Đây là lý do tại sao r có thể so sánh được giữa các cặp biến khác nhau, trong khi covariance thì không.
3.2. Hồi quy tuyến tính đơn biến
Nếu tương quan cho biết hai biến có liên hệ không, thì hồi quy cho biết mối liên hệ đó là gì — dưới dạng một phương trình. Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản nhất là:
Phương trình hồi quy tuyến tính đơn biến:
Y = β₀ + β₁X + ε
Trong đó:
β₀ (hệ số chặn / intercept): giá trị của Y khi X = 0
β₁ (hệ số góc / slope): mức thay đổi của Y khi X tăng 1 đơn vị
ε (sai số / error term): phần dư — những gì mô hình không giải thích được
Ví dụ CD11:
HA_tâm_thu = 98 + 0.5 × Tuổi + ε
→ Một người 50 tuổi: HA dự đoán = 98 + 0.5×50 = 123 mmHg
→ Một người 70 tuổi: HA dự đoán = 98 + 0.5×70 = 133 mmHg
→ Chênh 10 mmHg trong 20 năm tuổi.
Hệ số β₁ được ước lượng bằng phương pháp bình phương tối thiểu (Ordinary Least Squares — OLS):
Công thức ước lượng β₁:
β₁ = Cov(X, Y) / Var(X)
β₀ = Ȳ − β₁ · X̄
3.3. Hệ số xác định R²
R² là một trong những chỉ số quan trọng nhất trong hồi quy. Nó cho biết tỷ lệ phương sai của Y được giải thích bởi X.
R² — Hệ số xác định:
R² = r² (trong hồi quy đơn biến)
R² = SS_reg / SS_total = 1 − SS_res / SS_total
SS_total = Σ(Yᵢ − Ȳ)² — tổng biến thiên của Y
SS_res = Σ(Yᵢ − Ŷᵢ)² — tổng biến thiên không giải thích được (phần dư)
SS_reg = SS_total − SS_res — tổng biến thiên được giải thích bởi mô hình
Với R² = 0.42:
42% sự khác biệt về huyết áp giữa các bệnh nhân được giải thích bởi tuổi.
58% còn lại — do các yếu tố chưa biết — là ε (sai số).
3.4. Biểu đồ tương tác: Scatter plot với đường hồi quy
📊 Dữ liệu mô phỏng 80 bệnh nhân — mỗi chấm là một bệnh nhân. Đường xanh là đường hồi quy Y = 98 + 0.5×Tuổi. Vùng xám là khoảng tin cậy 95%.
📚 Cửa sổ học thuật — Correlation ≠ Causation! Đây là câu nói quan trọng nhất trong toàn bộ thống kê y học. r = 0.65 giữa tuổi và huyết áp không chứng minh rằng tuổi gây ra tăng huyết áp — mặc dù về mặt sinh học điều này có lý. Có thể có một biến thứ ba — ví dụ: thời gian tiếp xúc với ô nhiễm không khí — vừa tăng theo tuổi, vừa gây tăng huyết áp. Chỉ có thử nghiệm lâm sàng ngẫu nhiên (RCT) — nơi nhà nghiên cứu can thiệp vào X (ví dụ: kê thuốc hạ áp) và quan sát Y — mới có thể kết luận nhân quả. Trong nghiên cứu quan sát, r luôn là mối liên quan, không phải nhân quả.
