Thảo luận sau đây được trình bày dưới dạng một quần thể nhất định mà chúng ta gọi là quần thể A. Theo ký hiệu của Chương 9, phân chia tuổi thọ thành K+1 nhóm tuổi: [x₀, x₁), [x₁, x₂), ..., [xₖ, xₖ₊₁), ..., [xₖ₋₁, xₖ), [xₖ, xₖ₊₁], trong đó x₀ = 0 và xₖ₊₁ là giới hạn trên của tuổi thọ. Chúng ta gọi [xₖ, xₖ₊₁) là nhóm tuổi thứ k. Đối với nhóm tuổi này, gọi Dₐₖ là số tử vong hàng năm trong quần thể A và Nₐₖ là dân số giữa năm. Rõ ràng, tổng số tử vong trong quần thể A trong suốt năm là Dₐ = Σₖ₌₀ᵏ Dₐₖ và tổng dân số giữa năm là Nₐ = Σₖ₌₀ᵏ Nₐₖ. Chúng ta gọi Rₐ = Dₐ/Nₐ là tỉ suất chết thô và Rₐₖ = Dₐₖ/Nₐₖ là tỉ suất chết theo tuổi cho nhóm tuổi thứ k. Có thể dễ dàng chứng minh rằng:

Rₐ = Σ [(Nₐₖ/Nₐ) × Rₐₖ] (Công thức 12.1)

và do đó tỉ suất chết thô là một trung bình có trọng số của các tỉ suất chết theo tuổi, trong đó các trọng số Nₐₖ/Nₐ được xác định bởi phân bố tuổi của quần thể.

Bây giờ chúng ta xem xét các phương pháp so sánh tỉ suất chết trong quần thể A với một quần thể khác, mà chúng ta gọi là quần thể B. Tỉ số tỉ suất thô (crude rate ratio – CRR) so sánh quần thể A với quần thể B được định nghĩa là:

CRR = Rₐ / Rᵦ

Chúng ta cũng quan tâm đến các tỉ số tỉ suất theo tuổi Rₐₖ/Rᵦₖ. Như được trình bày trong ví dụ sau, các tỉ số thô và tỉ số theo tuổi đôi khi có thể dẫn đến những phát hiện mâu thuẫn.

Ví dụ 12.1 (Dữ liệu Giả định) Bảng 12.1 đưa ra dữ liệu giả định cho hai quần thể chỉ có hai nhóm tuổi: trẻ và già. Tỉ suất chết thô là Rₐ = 0,003 và Rᵦ = 0,005, do đó tỉ số tỉ suất thô là CRR = 0,003/0,005 = 0,6. Tuy nhiên, đối với cả nhóm trẻ và nhóm già, các tỉ số tỉ suất theo tuổi đều là Rₐₖ/Rᵦₖ = 2. Tùy thuộc vào việc chúng ta dựa vào tỉ số tỉ suất thô hay các tỉ số tỉ suất theo tuổi, chúng ta sẽ đi đến các kết luận khác nhau về nguy cơ tử vong trong quần thể A so với quần thể B.

Các phát hiện nghịch lý trong Ví dụ 12.1 phát sinh vì hai quần thể có phân bố tuổi rất khác nhau. Đối với mỗi quần thể, tỉ suất chết ở nhóm tuổi già cao gấp sáu lần so với nhóm tuổi trẻ. Tuy nhiên, hầu hết quần thể B là người già và do đó nhìn chung có nhiều ca tử vong hơn ở quần thể này so với quần thể A. Kết quả là tỉ suất chết thô ở quần thể B lớn hơn ở quần thể A. Vì tỉ suất chết thay đổi theo nhóm tuổi và phân bố tuổi khác nhau, nên việc xem tuổi như một yếu tố gây nhiễu cho mối liên hệ giữa "nơi cư trú" và nguy cơ tử vong là phù hợp. Chúng ta tìm kiếm một phương pháp so sánh tỉ suất chết tổng thể giữa các quần thể mà có kiểm soát các tác động gây nhiễu của tuổi.

Một cách tiếp cận được gợi ý bởi dạng của (12.1), trong đó tỉ suất chết theo tuổi trong quần thể và phân bố tuổi của quần thể xuất hiện riêng rẽ. Cụ thể, chúng ta thay thế phân bố tuổi thực tế của quần thể bằng phân bố tuổi của một quần thể tham chiếu, mà chúng ta gọi là quần thể chuẩn (standard population). Trong Chương 13, chúng ta thảo luận ngắn gọn về vấn đề làm thế nào để chọn một quần thể chuẩn phù hợp cho một ứng dụng nhất định. Giả sử rằng S là một quần thể chuẩn với Nₛₖ là số cá thể trong nhóm tuổi thứ k và Nₛ = Σₖ₌₀ᵏ Nₛₖ. Tỉ suất chết được chuẩn hóa trực tiếp cho quần thể A được định nghĩa là:

Rₐ⁽ˢ⁾ = Σ [(Nₛₖ/Nₛ) × Rₐₖ] (Công thức 12.2)

Rₐ⁽ˢ⁾ là trung bình có trọng số của các tỉ suất chết theo tuổi, với các trọng số được cho bởi phân bố tuổi của quần thể chuẩn. Từ (1.8), ước lượng của Var(Rₐ⁽ˢ⁾) là:

Var̂(Rₐ⁽ˢ⁾) = Σ [(Nₛₖ/Nₛ)² × Var̂(Rₐₖ)] = Σ [(Nₛₖ/Nₛ)² × Dₐₖ/(Nₐₖ)²] (Công thức 12.3)

Ước lượng được cho bởi (12.3) có thể không đáng tin cậy khi số tử vong trong mỗi nhóm tuổi là nhỏ. Dobson và cộng sự (1991) đưa ra một phương pháp ước lượng phương sai phù hợp với những trường hợp như vậy.

Đối với chuẩn hóa trực tiếp, tất cả những gì chúng ta cần biết về quần thể chuẩn là phân bố tuổi của nó. Do đó, không cần thiết phải xác định cụ thể số cá thể trong mỗi nhóm tuổi. Thực tế, quần thể chuẩn không cần phải tồn tại như một quần thể thực và có thể đơn giản là một lựa chọn trọng số cụ thể. Thông thường, Rₐ⁽ˢ⁾ được coi là tỉ suất chết thô của quần thể A sẽ được quan sát nếu phân bố tuổi trong quần thể A giống với quần thể chuẩn. Có ít nhất một trường hợp tỉ suất chết được chuẩn hóa trực tiếp có cách hiểu rõ ràng. Giả sử chúng ta lấy quần thể A làm quần thể chuẩn. Khi đó (12.2) và (12.3) đơn giản hóa thành Rₐ⁽ᵃ⁾ = Rₐ và Var̂(Rₐ⁽ᵃ⁾) = Dₐ/Nₐ². Do đó, chuẩn hóa trực tiếp một quần thể với chính nó dẫn đến các ước lượng thô cho quần thể đó.

Tỉ số tỉ suất chuẩn hóa (standardized rate ratio – SRR) so sánh quần thể A với quần thể B được định nghĩa là tỉ số của các tỉ suất chết chuẩn hóa:

SRR = Rₐ⁽ˢ⁾ / Rᵦ⁽ˢ⁾ = Σ(RₐₖNₛₖ) / Σ(RᵦₖNₛₖ) (Công thức 12.4)

Chúng ta có thể coi SRR là đối tác đã được điều chỉnh theo tuổi của CRR. Trong hầu hết các ứng dụng, các tỉ số tỉ suất theo tuổi thể hiện sự không đồng nhất đáng kể. Giả sử, vì mục đích minh họa, có tính đồng nhất với Rₐₖ/Rᵦₖ = ψ cho mọi k, với ψ là hằng số nào đó. Từ (12.4), suy ra ngay rằng SRR = ψ. Lưu ý rằng kết quả này độc lập với việc lựa chọn quần thể chuẩn. Trong Ví dụ 12.1, các tỉ số tỉ suất theo tuổi đều bằng ψ = 2 và do đó SRR = 2. Một ước lượng của Var(log SRR) là:

Var̂(log SRR) = Var̂(Rₐ⁽ˢ⁾)/(Rₐ⁽ˢ⁾)² + Var̂(Rᵦ⁽ˢ⁾)/(Rᵦ⁽ˢ⁾)²

và khoảng tin cậy (1−α)×100% cho SSR thu được bằng cách lấy lũy thừa của [log SRR, log SRR] = log(SRR) ± z_(α/2)√Var̂(log SRR) (Rothman và Greenland, 1998, tr. 263). Các phương pháp khác để ước lượng khoảng tin cậy cho SRR cũng có sẵn (Flanders, 1984).

Chuẩn hóa trực tiếp thường được sử dụng nhất để so sánh một quần thể với chính nó theo thời gian, hoặc so sánh một số quần thể riêng biệt tại một thời điểm nhất định. Ví dụ sau minh họa cách chuẩn hóa trực tiếp có thể được sử dụng để phân tích dữ liệu từ một nghiên cứu đoàn hệ lớn. Trong thực tế, một nghiên cứu đoàn hệ có nhiều khả năng được phân tích bằng các phương pháp của phần tiếp theo. Tuy nhiên, vì mục đích minh họa, ví dụ này được cung cấp.

Ví dụ 12.2 (Tâm thần phân liệt) Bảng 12.2(a) đưa ra dữ liệu từ một nghiên cứu đoàn hệ về tử vong ở 2.122 nam giới đã được điều trị tâm thần phân liệt tại tỉnh Alberta, Canada trong khoảng thời gian 1976–1985 (Newman và Bland, 1991). Đối tượng được xác định qua hồ sơ lâm sàng và được theo dõi đến cuối năm 1985 bằng cách sử dụng kết nối hồ sơ với Cơ sở dữ liệu Tử vong Thống kê Canada, một cơ quan đăng ký thống kê y tế quốc gia. Trong phân tích hiện tại, điểm kết thúc được lấy là tử vong do bất kỳ nguyên nhân nào. Nghiên cứu này là một ví dụ về cái gọi là nghiên cứu đoàn hệ hồi cứu vì các đối tượng được xác định bằng các hồ sơ lưu trữ và được theo dõi về phía trước như một đoàn hệ đến một thời điểm gần đây. Cũng được cung cấp trong Bảng 12.2(a) là số tử vong và số liệu điều tra dân số cho nam giới Alberta năm 1981. Dân số năm 1981 được chọn làm quần thể chuẩn vì năm 1981 là điểm giữa của thời kỳ theo dõi. Trong các Bảng 12.2(a) và 12.2(b), chúng tôi sử dụng ký hiệu nhân khẩu học thông thường cho các nhóm tuổi. Ví dụ, 10–19 đại diện cho nhóm tuổi [10,0, 20,0).

Trong ví dụ này, chúng tôi coi số liệu điều tra dân số là ước lượng của người-năm trong một quần thể dừng. Như có thể thấy từ Bảng 12.2(a), phân bố người-năm trong đoàn hệ khác so với dân số Alberta. Tuy nhiên, ngoài nhóm tuổi trẻ nhất, sự khác biệt không lớn. Bảng 12.2(b) đưa ra các tỉ suất chết theo tuổi cho hai nhóm nghiên cứu. Chúng tôi quan sát thấy các tỉ số tỉ suất theo tuổi cho thấy sự không đồng nhất đáng kể, với các giá trị dao động từ 1,11 đến 8,23. Trong phần còn lại của ví dụ, chúng tôi ký hiệu đoàn hệ là A, dân số Alberta là B, và lấy dân số Alberta là quần thể chuẩn S, tức là S = B.

Các tỉ suất chết thô là Rₐ = 15,43×10⁻³ (mỗi năm) và Rᵦ = Rₛ = 7,61×10⁻³, và do đó tỉ số tỉ suất thô là CRR = 15,43/7,61 = 2,03. Để so sánh, Rₐ⁽ˢ⁾ = 17,62×10⁻³ và Rᵦ⁽ˢ⁾ = Rᵦ, và do đó tỉ số tỉ suất chuẩn hóa là SRR = 17,62/7,61 = 2,32. Do sự tương đồng của các phân bố người-năm đã nêu ở trên, các tỉ số tỉ suất thô và chuẩn hóa có giá trị gần nhau. Từ:

Var̂(log SRR) = (0,00173)²/(0,0176)² + (0,0000892)²/(0,00761)² = (0,0992)²

khoảng tin cậy 95% cho tỉ số tỉ suất chuẩn hóa là [1,91, 2,81].