15.1. Hồi quy Logistic

Xét nghiên cứu thuần tập kín với biến phơi nhiễm liên tục. Các quá trình bệnh tật thường thể hiện mối quan hệ liều-đáp ứng dạng sigmoid. Hàm logistic với dạng này là:

π_x = exp(α + βx) / [1 + exp(α + βx)] (15.1)

trong đó x là phơi nhiễm, π_x là xác suất mắc bệnh tại mức phơi nhiễm x, α và β là các hằng số cần ước lượng. Vì hàm mũ luôn dương nên 0 < π_x < 1. Đặt odds ω_x = π_x/(1−π_x), ta có:

log(ω_x) = log[π_x/(1−π_x)] = α + βx (15.2)

Đây là mô hình hồi quy logistic với log-odds là hàm tuyến tính của phơi nhiễm. Với biến phơi nhiễm nhị phân, số đếm quan sát và giá trị kỳ vọng trong nghiên cứu thuần tập kín được trình bày trong Bảng 15.1(a) và 15.1(b). Từ (15.2), suy ra log(OR) = β và OR = exp(β). Khi β = 0 thì OR = 1, tương ứng với không có mối liên hệ giữa phơi nhiễm và bệnh.

Với hai biến phơi nhiễm nhị phân x và y, mô hình hồi quy logistic tổng quát nhất là:

log(ω_xy) = α + βx + γy + ϕxy (15.3)

Tham số ϕ phản ánh mức độ khác biệt của log(OR) giữa các tầng lớp của y. Khi ϕ = 0, các OR là đồng nhất giữa các tầng lớp và exp(β) là OR chung sau khi điều chỉnh theo y.

Mô hình hồi quy logistic tổng quát:

log[π/(1−π)] = α + Σβ_ix_i (15.4)

Một đặc điểm quan trọng: hồi quy logistic có thể phân tích dữ liệu bệnh-chứng như thể dữ liệu được thu thập từ thiết kế thuần tập kín (Anderson, 1972; Breslow và Powers, 1978; Prentice và Pyke, 1979). Các β_i được hiểu là log(OR). Hồi quy logistic cho phép cả biến độc lập phân loại và liên tục trong cùng một mô hình, đồng thời thực hiện ước lượng điểm, ước lượng khoảng, và kiểm định về mối liên hệ, tính đồng nhất, và xu hướng tuyến tính.

Ví dụ 15.1 (Giai đoạn–Mức thụ thể–Ung thư vú): Phân tích dữ liệu ung thư vú với mô hình:

log(ω) = α + βx + γ₁y₁ + γ₂y₂ (15.5)

với x: mức thụ thể (thấp/cao); y₁: giai đoạn II; y₂: giai đoạn III. Kết quả ước lượng cho thấy OR đối với mức thụ thể thấp là 2.51 (95% CI: 1.16–5.44), giai đoạn II là 3.11 (95% CI: 1.25–7.75), giai đoạn III là 18.84 (95% CI: 5.98–59.37). Kiểm định Wald và likelihood ratio cho thấy mô hình không có tương tác (ϕ₁ = ϕ₂ = 0) là phù hợp.

Khi xử lý mức thụ thể là biến liên tục (0–2621), cần kiểm tra giả định tuyến tính giữa biến và log-odds. Chia thành 5 nhóm theo ngũ phân vị, đồ thị log(odds) theo log(mức thụ thể) cho thấy mối quan hệ tuyến tính. Mô hình với log(mức thụ thể) và giai đoạn cho OR = 0.74 cho mỗi đơn vị tăng của log(mức thụ thể).

(Nguồn: Newman SC. Biostatistical Methods in Epidemiology. Chapter 15: Logistic Regression and Cox Regression, tr. 295-306. John Wiley & Sons, 2001.)