📐 Công thức, Ý nghĩa và Các khái niệm then chốt
3.1. Phương trình hồi quy đa biến tổng quát
Hồi quy đa biến mở rộng hồi quy tuyến tính đơn giản từ một biến dự báo lên nhiều biến. Công thức tổng quát như sau:
Mô hình hồi quy tuyến tính đa biến:
Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε
Trong đó:
Y = biến phụ thuộc (outcome) — ví dụ: huyết áp tâm thu
X₁, X₂, ..., Xₚ = các biến độc lập (predictors)
β₀ = hằng số (intercept) — giá trị của Y khi tất cả X đều = 0
βᵢ = hệ số hồi quy của Xᵢ — mức thay đổi của Y khi Xᵢ tăng 1 đơn vị, giữ các X khác không đổi
ε = sai số (error/residual) — phần không giải thích được bởi mô hình
3.2. Diễn giải β — "effect của Xᵢ khi giữ constant các X khác"
Đây là khái niệm quan trọng nhất cần hiểu về hồi quy đa biến. Mỗi hệ số βᵢ đại diện cho tác động riêng (unique effect) của biến Xᵢ lên Y, sau khi đã loại bỏ ảnh hưởng của tất cả các biến khác trong mô hình.
Ví dụ: trong mô hình dự đoán huyết áp (Y) với tuổi (X₁), BMI (X₂), và lượng muối ăn hàng ngày (X₃):
- β₁ = 0.5 mmHg/năm có nghĩa là: với hai người có cùng BMI và cùng lượng muối ăn, người già hơn 10 tuổi sẽ có huyết áp cao hơn trung bình 5 mmHg.
- β₂ = 1.2 mmHg/kg/m² có nghĩa là: với hai người cùng tuổi và cùng lượng muối, người có BMI cao hơn 5 đơn vị sẽ có huyết áp cao hơn 6 mmHg.
📚 Cửa sổ học thuật — Standardized β (Beta chuẩn hóa): Khi các biến X có đơn vị đo khác nhau (tuổi tính bằng năm, BMI tính bằng kg/m², cholesterol tính bằng mmol/L), chúng ta không thể so sánh trực tiếp các β thô. Giải pháp: standardized β (còn gọi là Beta, ký hiệu β*) — là hệ số hồi quy khi tất cả các biến đã được chuẩn hóa về Z-score (trung bình = 0, độ lệch chuẩn = 1). Khi đó, β* cho biết: khi Xᵢ tăng 1 độ lệch chuẩn, Y thay đổi bao nhiêu độ lệch chuẩn. Điều này cho phép so sánh "sức mạnh tương đối" của các yếu tố dự báo khác nhau. Tuy nhiên, cần thận trọng: standardized β phụ thuộc vào độ biến thiên của mẫu, không phải là đại lượng cố định của quần thể.
3.3. Adjusted R² — Mô hình giải thích được bao nhiêu?
R² là tỷ lệ phương sai của Y được giải thích bởi các biến X. Tuy nhiên, R² thông thường luôn tăng khi thêm biến vào mô hình — kể cả biến vô dụng. Do đó, chúng ta dùng Adjusted R² (R² hiệu chỉnh) để phạt việc thêm biến không cần thiết.
Adjusted R²:
R²adj = 1 − [(1 − R²)(n − 1)] / (n − p − 1)
Trong đó:
n = cỡ mẫu
p = số biến dự báo trong mô hình
Adjusted R² chỉ tăng nếu biến mới thực sự đóng góp vào việc giải thích Y. Đây là công cụ quan trọng để chọn mô hình — không thêm biến vô ích, không bỏ sót biến quan trọng.
3.4. Multicollinearity (Đa cộng tuyến) và VIF
Vấn đề: Khi hai biến dự báo có tương quan cao với nhau (ví dụ: BMI và vòng eo, hoặc tuổi và số năm hút thuốc), mô hình hồi quy không thể "tách" tác động riêng của từng biến. Hệ quả: các β ước lượng trở nên không ổn định — dao động mạnh khi thay đổi mẫu nhỏ, và sai số chuẩn (SE) rất lớn.
VIF (Variance Inflation Factor) là chỉ số phát hiện đa cộng tuyến:
VIF cho biến Xᵢ:
VIFᵢ = 1 / (1 − R²ᵢ)
Trong đó: R²ᵢ là R² khi hồi quy Xᵢ lên tất cả các biến X khác.
Quy tắc:
• VIF = 1: không có đa cộng tuyến
• VIF > 5: đa cộng tuyến vừa phải — cần xem xét
• VIF > 10: đa cộng tuyến nghiêm trọng — cần can thiệp
Giải pháp cho đa cộng tuyến là gì? (1) Loại bỏ một trong các biến có tương quan cao — chọn biến có ý nghĩa lâm sàng hơn. (2) Kết hợp các biến thành một chỉ số tổng hợp (ví dụ: dùng BMI thay vì cả cân nặng và chiều cao). (3) Dùng các phương pháp chính quy hóa (regularization) như Ridge Regression hoặc Lasso — đây là kỹ thuật nâng cao, xin hẹn ở chuyên đề sau. (4) Tăng cỡ mẫu — đa cộng tuyến ít nghiêm trọng hơn khi mẫu lớn. Quan trọng: không bao giờ bỏ qua đa cộng tuyến, vì nó làm cho mô hình của bạn không đáng tin cậy — dù p-value có "đẹp" đến đâu.
