📐 Từ công thức đến ứng dụng — Binomial và Poisson trong thực hành
3.1. Phân phối Binomial — Công thức và Ý nghĩa
Công thức Binomial:
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Trong đó: C(n, k) = n! / [k! × (n − k)!]
Kỳ vọng (Mean): E(X) = n × p
Phương sai (Variance): Var(X) = n × p × (1 − p)
Ba tham số xác định phân phối Binomial: n (số lần thử), p (xác suất thành công mỗi lần), và k (số lần thành công muốn tính). C(n, k) là số tổ hợp — số cách chọn k vị trí thành công từ n vị trí. pᵏ là xác suất để k lần thành công xảy ra, và (1−p)ⁿ⁻ᵏ là xác suất để (n−k) lần thất bại xảy ra. Kỳ vọng E(X) = np cho biết "trung bình" chúng ta kỳ vọng bao nhiêu lần thành công. Trong ví dụ khoa Sản: E(X) = 10 × 0.08 = 0.8 ca sản giật — tức là trung bình chưa đến 1 ca mỗi 10 sản phụ. Phương sai Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.08 × 0.92 = 0.736, và SD = √0.736 ≈ 0.86.
3.2. Phân phối Poisson — Công thức và Ý nghĩa
Công thức Poisson:
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ / k!
Kỳ vọng: E(X) = λ
Phương sai: Var(X) = λ
(Lưu ý: Trong Poisson, kỳ vọng và phương sai bằng nhau — đây là tính chất đặc trưng!)
Poisson chỉ có một tham số duy nhất: λ (lambda) — tốc độ trung bình của biến cố trong khoảng thời gian (hoặc không gian) quan tâm. λ cũng chính là cả kỳ vọng và phương sai của phân phối. Trong ví dụ khoa Cấp cứu: λ = 3 ca NMCT/ngày, và Var = 3. Điều này có nghĩa là SD = √3 ≈ 1.73 — độ biến thiên tự nhiên của số ca mỗi ngày là khoảng ±1.73 ca. Khoảng 95% số ngày sẽ có số ca NMCT trong khoảng 3 ± 1.96 × 1.73 ≈ (0, 6.4) — tức từ 0 đến 6 ca.
3.3. Xấp xỉ Poisson cho Binomial
Khi n lớn và p nhỏ (thường n ≥ 20 và p ≤ 0.1), phân phối Binomial có thể được xấp xỉ bằng phân phối Poisson với λ = np. Ví dụ: nếu một khoa Sản khác có n = 50 sản phụ/ngày với p = 0.08 (giữ nguyên), thì λ = 50 × 0.08 = 4. Xác suất có đúng 3 ca sản giật theo Binomial là C(50,3) × 0.08³ × 0.92⁴⁷ ≈ 0.148; theo Poisson với λ = 4: P(X = 3) = e^(−4) × 4³ / 3! = 0.0183 × 64 / 6 ≈ 0.195. Sai số ~3% — chấp nhận được cho hầu hết các mục đích lâm sàng. Khi n càng lớn, sai số càng nhỏ. Đây là lý do Poisson được gọi là "giới hạn" của Binomial cho các sự kiện hiếm.
3.4. Biểu đồ so sánh: Binomial p=0.1 vs p=0.3 (n=20)
Biểu đồ trên so sánh hai phân phối Binomial với cùng n = 20 nhưng p khác nhau: p = 0.1 (xác suất biến chứng thấp) và p = 0.3 (xác suất biến chứng cao). Khi p = 0.1, phân phối bị lệch trái (left-skewed) — hầu hết xác suất dồn về các giá trị thấp (0-4). Khi p = 0.3, phân phối gần như đối xứng với đỉnh ở k ≈ np = 6. Điểm chung của cả hai: đều là phân phối rời rạc, chỉ nhận giá trị nguyên (0, 1, 2, ... 20). Khi p tiến gần đến 0.5, phân phối Binomial trở nên đối xứng và có thể được xấp xỉ bằng phân phối Chuẩn (sẽ học ở Chuyên đề 05).
Tại sao kỳ vọng và phương sai của Poisson bằng nhau — và tại sao điều này quan trọng? Đây là một tính chất độc đáo của Poisson, không có ở hầu hết các phân phối khác. Trong thực tế, nếu bạn đang phân tích dữ liệu đếm (count data) và thấy rằng phương sai lớn hơn nhiều so với kỳ vọng (overdispersion), thì Poisson không phải là một mô hình phù hợp — bạn cần dùng phân phối Negative Binomial hoặc các mô hình phức tạp hơn. Ví dụ: số ca NMCT mỗi ngày ở một bệnh viện có thể có phương sai lớn hơn kỳ vọng vì có những yếu tố mùa vụ (mùa lạnh có nhiều ca hơn) làm tăng biến thiên. Kiểm tra overdispersion là một bước quan trọng trong phân tích dữ liệu dịch tễ.
